Sus inicios se dieron en la década de 1960, cuando se abría paso en producciones televisivas como A lo largo de la década de los sesenta, Héctor Suárez también hizo participaciones importantes en cine en títulos como La maldición de oro, dirigida por Jaime Salvador, en 1965; Lanza tus penas al viento, bajo la dirección de Julián Soler, en 1966, en la que dio vida al personaje de “Alejandro” y para 1969 protagonizó la cinta No se mande, profe, al lado de Enrique Guzmán, Hilda Aguirre y Sara García.Para 1972, llegó a la vida de Héctor Suárez, la cinta Mecánica Nacional, dirigida por Luis Alcoriza, en ella, el actor dio vida a “Gregorio- Goyo”, y actuó al lado de Manolo Fábregas, Lucha Villa, Sara García, Alma Muriel, entre otros.“Un mecánico lleva a su familia a una carrera de autos y ocurren una serie de eventos que traen problemas, traiciones, violencia y la muerte inesperada de una persona mayor”, destaca la sinopsis del filme, publicado en el portal IMDb.Fue con México, México, ra ra ra, dirigida por Gustavo Alatriste, en 1976, que Suárez desarrolló diversos personajes y compartió sets de filmación con  Patricia Reyes Spíndola, Leticia Perdigon y Ernesto Gómez Cruz; a aquella participación le siguió el papel de “Pancho”, en El Buscabullas, del mismo año, su actuación en ¡Oye Salomé!, y el personaje de El Mobil Oil, en el filme Picardía Mexicana, protagonizado por el cantante mexicano Vicente Fernández, ambas de 1978.Aunque su trayectoria en los años sesenta y setenta fue consistente para los ochenta Héctor Suárez se consolidó gracias a personajes como “El mil usos” y al ingenio y originalidad que imprimió en la serie de televisión “¿Qué nos pasa?”, pero antes de aquellos proyectos que le dieron fama y lo catapultaron como una de las más grandes figuras de la comedia en México, el actor dio muestra de su rango interpretativo en las producciones cinematográficas Como México no hay dos y Lagunilla, mi barrio, de 1981; Valentín Lazaña y Lagunilla 2, de 1982.Dicha trama se convirtió en un reflejo del calvario que viven las personas de provincia al llegar a la capital mexicana en busca mejores oportunidades de vida. Como si aquel suplicio no hubiera sido suficiente, “Tránsito”, emprende un nuevo rumbo, esta vez a los Estados Unidos, y en busca del famoso “sueño americano”, Suárez protagoniza El mil usos llegó de mojado -o bien El mil usos 2- bajo la dirección de Roberto G. Rivera, en 1984.Aquella década se convirtió en la etapa de secuelas en el cine que recreaba, en buena parte de sus producciones, la problemática social de las clases marginadas; posteriormente llegaron a la carrera de Suárez títulos como El rey de la vecindad, (1985).“¿Qué he hecho Dios mío? ¿Qué he hecho para merecer una hija viciosa y mentirosa? ¿Qué culpas debo de pagar? ¿Por qué me castigas así, Señor? ¿En qué te fallé? ¿En qué te fallé? ¿En qué te fallé?”, sentencia “Doña Soyla”, personificada por Héctor Suárez mientras golpea con el zapato a su hija a causa de un olor a cigarro, que despierta sus sospechas de tener una hija viciosa.